ตรรกศาสตร์ (Logic) 

เป็นวิชาพื้นฐานที่สำคัญในการศึกษาวิชาต่างๆ เช่น สังคมศาสตร์ปรัชญา คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์  ปัจจุบันได้มีการนำมาประยุกต์ใช้ในด้านคอมพิวเตอร์ เพราะตรรกศาสตร์เป็นวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับกฏเกณฑ์และวิธีการให้เหตุผล นักปราชญ์ซึ่งเป็นบิดาของวิชาตรรกศาสตร์ คือ อาริสโตเติล (Aristotle, 384 - 322 ก่อนคริสตศักราช) โดยอาริสโตเติล เชื่อว่ามนุษณ์เท่านั้นที่สามารถคิดเกี่ยวกับเหตุผลได้ ท่านได้เขียนเขียนตำราชื่อ Organum ซึ่งเกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ถูกต้อง หลักการของหนังสือเล่มนี้กลายมาเป็นหลักการของตรรกศาสตร์ในปัจจุบัน ซึ่งวิชานี้จะเป็นวิชาที่ช่วยให้เข้าใจคณิตศาสตร์ได้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น จะอธิบายตามลำดับหัวข้อ ดังนี้

5.1 ประพจน์

ประพจน์ หมายถึง ประโยคหรือข้อความที่ใช้สำหรับบอกค่าความเป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่าง หนึ่ง ส่วน ประโยคหรือข้อความที่ไม่สามารถบอกค่าความจริงหรือเป็นเท็จได้จะไม่เรียกว่าประพจน์ 

ตัวอย่างของประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์เช่น ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก สุนัขมี 4 ขา ประเทศไทยมีชายแดนติดกับประเทศอินเดีย เดือนมกราคมมี 30 วัน 

ตัวอย่างของประโยคหรือข้อความที่ไม่เป็นประพจน์เช่น ห้ามเดินลัดสนาม กรุณาปิดไฟก่อนออกจากห้อง เธอกำลังจะไปไหน เขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย Y + 5 = 8  

 5.2 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อมต่างๆ

ตัวเชื่อมประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม

โดยปกติเมื่อกล่าวถึงข้อความหรือประโยคนั้นมักจะมีกริยามากกว่าหนึ่งตัวแสดงว่าได้นำประโยคมาเชื่อมกันมากว่าหนึ่งประโยค ดังนั้นถ้านำประพจน์มาเชื่อมกันก็จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากคือ “และ” “หรือ” “ไม่” ที่เหลืออีกสองตัวคือ “ถ้า…แล้ว…” และ “…ก็ต่อเมื่อ…” เมื่อนำประพจน์เชื่อมด้วยตัวเชื่อม และ ,หรือ, ถ้า…แล้ว, …ก็ต่อเมื่อ โดยที่ถ้า p และ q แทนประพจน์ จะเขียน ถ้ากำหนดให้ T แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นจริง F แทนค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นเท็จ และ p, q แทนประพจน์ใดๆ ที่ยังไม่ได้ระบุข้อความหรือแทนค่าข้อความลงไป ประพจน์ p ู q จะเรียกว่าข้อความร่วม (conjugate statement) และจะสามารถเขียนตารางค่าความจริงของประพจน์ p     ู q ได้ดังนี้ จากตารางจะพบว่า ค่าความจริงของประพจน์ p q จะเป็นจริงถ้าประพจน์ทั้งสองเป็นจริงนอกนั้นจะเป็นเท็จ  ประพจน์ p ฺ q เรียกว่าข้อความเลือก (disjunctive statement) เป็นข้อความที่เป็นจริงถ้า p หรือ q เป็นอย่างน้อยที่สุดหนึ่งประพจน์ แต่จะไม่เป็นจริงเมื่อทั้งสองประพจน์เป็นเท็จ ตารางค่าความจริงของ p ฺ q สามารถเขียนได้ดังนี้ ประพจน์ ~p เรียกว่านิเสธ (negation) p หมายถึงไม่เป็นจริงสำหรับ p จะเป็นจริงเมื่อ p เป็นเท็จและจะเป็นเท็จเมื่อ p เป็นจริง ตารางค่าความจริงของ ~p เป็นดังนี้ ประพจน์ p , q เรียกว่าประโยคเงื่อนไขหรือข้อความแจงเหตุสู่ผล (conditional statement) ประพจน์ p เรียกว่าเหตุตัวเงื่อนและ q เป็นผลสรุป เช่น p : นุ่นไปเที่ยวนอกบ้าน q : คุณพ่อโทรศัพท์ตาม ดังนั้น p ,q : ถ้านุ่นไปเที่ยวนอกบ้านแล้วคุณพ่อโทรศัพท์ตาม จากการตรวจสอบเงื่อนไขนี้จะพบว่าประพจน์นี้จะเป็นเท็จกรณีเดียวคือ นุ่นไปเที่ยวนอกบ้านแต่คุณพ่อไม่โทรศัพท์ตาม ดังนั้นจะสามารถแสดงตารางค่าความจริงของประพจน์ p , q ได้ดังนี้ ประพจน์ p ,q เรียกว่าประโยคเงื่อนไขสองทาง (biconditional statement) คือ ประพจน์ที่มีความหมายเหมือนกับ (p ,q) ู (q , p) เนื่องจาก (p , q) และ (q,p) เชื่อมด้วยคำว่า “และ” ดังนั้น p q จะมีค่าความจริงเป็นจริงต่อเมื่อประพจน์ p และประพจน์ q มีค่าความจริงเหมือนกัน ดังตารางต่อไปนี้ จากตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมทั้ง 5จะพบว่า 1. ~ p มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับค่าความเป็นจริงของ p 2. p ,q เป็น T กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p และ q เป็น T 3. p ,q เป็น F กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p และ q เป็น F 4. p , q เป็น F กรณีเดียวคือกรณีที่ทั้ง p เป็น T และ q เป็น F 5. p ,q เป็น T เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกัน 5.3 การหาค่าความจริงของประพจน์ การหาค่าความจริงของประพจน์

ตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมแบบต่างๆ ที่กล่าวมาแล้วมีเพื่อช่วยในการหาว่าประพจน์ใดเป็นจริงหรือเป็นเท็จ  ดังในตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่1  จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้            “เชียงใหม่และธนบุรีเคยเป็นเมืองหลวงของไทย” 5.4 สัจนิรันดร์ ประพจน์ขัดแย้ง และคอนทิเจน สัจนิรันดร์

5.5 การสมมูลกันของประพจน์

การสมมูลกันของประพจน์ (Propositional Equivalence) 

เดือนบอกว่า “ฉันไม่ได้ ทำและฉันพูดความจริง” นภบอกวา่ “ไม่จริงที่เดือนจะเป็นคนทำหรือพูดโกหก” กำหนดให้ p แทน เดือนเป็นคนผิด q แทน เดือนพูดความจริง 

ข้อความแรกแปลงประพจน์ประกอบได้เป็น ¬p ∧ q ข้อความที่สองได้¬ ( p ∨ ¬q) การตรวจสอบความสมมูลกันของสองประโยค คือการตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของนิพจน์ 

ตรรกศาสตร์( )( ) ¬p ∧ q ↔ ¬ p ∨ ¬q p q (¬p ∧ q) ( ) p ∨ ¬q ¬( p ∨ ¬q) (¬p ∧ q)( ) ↔ ¬ p ∨ ¬q ข้อความสองข้อความมีความหมายเหมือนกันทางตรรกศาสตร์ เรากล่าวว่า ประพจน์ประกอบท้้งสองสมมูลกันเชิงตรรกศาสตร์(Logical Equivalence) 

บทนิยาม ประพจน์ p และ q จะถูกเรียกว่า “สมมูลกันเชิงตรรกศาสตร์ (Logical Equivalence)” ถ้า p ↔ q เป็นสัจนิรันดร์สัญลักษณ์ที่ใช้แทน “ p สมมูลเชิง ตรรกศาสตร์กับ q ” คือ “ p ≡ q ” 

 ตัวอย่างที่ 1.1 จงตรวจสอบว่าข้อความต่อไปนี้สมมูลกันเชิงตรรกศาสตร์หรือไม่ ก. ถ้าสินค้ายังไม่ถึงมือลูกค้าลูกค้าก็ยังไม่ต้องจ่ายเงิน ข. ถ้าลูกคาจ่ายเงินแล้วแสดงว่าสินค้านั้นถึงมือลูกค้าเป็นที่เรียบร้อย ถ้าให้ p แทน สินค้าถึงมือลูกค้า q แทน ลูกค้าจ่ายเงินแล้ว นิพจน์ตรรกศาสตร์แทนข้อความ ก. เป็น ¬p → ¬q นิพจน์ตรรกศาสตร์แทนข้อความ ข. เป็น q → p ตรวจสอบว่า ¬p → ¬q ≡ q → p หรือไม่ 

    5.5.2 กฎการสมมูลเชิงตรรกศาสตร์

1. ¬¬p ≡ p Double negation

2. ( )( ) p ∨ q ≡ q ∨ p b. ( )( ) p ∧ q ≡ q ∧ p c. ( )( ) p ↔ q ≡ q ↔ p Commutative Laws 

3. [ ] ( ) p ∨ q ∨ r ≡ [p ∨ ( ) q ∨ r ] b. [ ] ( ) p ∧ q ∧ r ≡ [p ∧ ( ) q ∧ r ] Associative Laws 

4. [ ] p ∨ ( ) q ∧ r ≡ [( p ∨ q)( ) ∧ p ∨ r ] b. [ ] p ∧ ( ) q ∨ r ≡ [( p ∧ q)( ) ∨ p ∧ r ] Distributive Laws 

5. ( ) p ∨ p ≡ p b. ( ) p ∧ p ≡ p Idempotent Laws 

6. ( ) p ∨ F ≡ p b. ( ) p ∨ T ≡ T c. ( ) p ∧ F ≡ F d. ( ) p ∧ T ≡ p Identity Laws 

7. ( ) p ∨ ¬p ≡ T b. ( ) p ∧ ¬p ≡ F 

8. ¬( )( ) p ∨ q ≡ ¬p ∧ ¬q b. ¬( )( ) p ∧ q ≡ ¬p ∨ ¬q c. ( )( ) p ∨ q ≡ ¬ ¬p ∧ ¬q d. ( )( ) p ∧ q ≡ ¬ ¬p ∨ ¬q DeMorgan Laws 

9. ( )( ) p → q ≡ ¬q → ¬p Contrapositive 

10. ( )( ) p → q ≡ ¬p ∨ q b. ( ) p → q ≡ ¬( p ∧ ¬q) Implication 

11. ( )( ) p ∨ q ≡ ¬p → q b. ( )( ) p ∧ q ≡ ¬ p → ¬q 

12. [ ] ( )( ) p → r ∧ q → r ≡ [ ] ( ) p ∨ q → r b. [ ] ( )( ) p → q ∧ p → r ≡ [ ] p → (q ∧ r) 

13. ( ) ( )( ) p ↔ q ≡ [ ] p → q ∧ q → p Equivalence 

14. [ ] ( ) p ∧ q → r ≡ [p → ( ) q → r ] Exportation Law 

15. ( )( ) p → q ≡ [ ] p ∧ ¬q → F Reductio ad absurdum 

 การพิสูจน์ความสมมูลกันเชิงตรรกศาสตร์ของสองประพจน์ประกอบโดยใช้กฎการสมมูลเรียกว่าพีชคณิตประพจน์ (Propositional Algebra) 

ตัวอย่างที่ 1.2 จงแสดงว่า ¬( ) p ∨ ( ) ¬p ∧ q สมมูลเชิงตรรกศาสตร์กับ ¬p ∧ ¬q ทาํ ¬( ) p ∨ (¬p ∧ q) ≡ ¬p ∧ ¬(¬p ∧ q) DeMorgan Law 8a ≡ ¬p ∧ (¬¬p ∨ ¬q) DeMorgan Law 8b ≡ ¬p ∧ ( p ∨ ¬q) Double negation 1 ≡ ( ) ¬p ∧ p ∨ (¬p ∧ ¬q) Distributive Law 4b ≡ F ∨ (¬p ∧ ¬q) 7b ≡ ¬p ∧ ¬q Identity Law 6a 

บทนิยาม  ประพจน์ p และ q จะถูกเรียกว่า “การแจงเหตุสู่ผลเชิงตรรกศาสตร์ (Logical Implication)” ถ้า p → q เป็นสัจนิรันดร์สัญลักษณ์ที่ใช้แทน “ p แจงเหตุสู่ ผล q ” คือ “ p ⇒ q ” p ⇒ q มีความหมายว่าสำหรับประพจน์ p และ q ค่าความจริงเป็น “จริง” และ “เท็จ ” จะไม่เกิดขี้นพร้อมกัน กล่าวคือเมื่อประพจน์ p “จริง” ประพจน์ q ก็จะเป็น “จริง” ด้วย และเมื่อ ประพจน์ q เป็น “เท็จ” ประพจน์ p ก็จะเป็น “เท็จ” ด้วย การตรวจสอบการแจงเหตุสู่ผล p ⇒ q เราสามารถแจงเหตุ p สู่ผล q ได้หรืออีกวิธีหนึ่งในการพิจารณาค่าความจริงของการแจงเหตุสู่ผล คือให้มองข้ามแถวที่ p เป็น “เท็จ” และเช่นเดียวกันก็มองข้าม แถวที่ q เป็น “จริง” แถวที่p จริง q เท็จ การแจงเหตุสู่ผล p ⇒ q เป็น “เท็จ” การแจงเหตุสู่ผล p ⇒ q เป็น “จริง” 

ตัวอย่างที่ 1.3 จงตรวจสอบค่าความจริงของการแจงเหตุสู่ผล ¬p ⇒ ( p → q) จะพิจารณาตารางค่าความจริงเฉพาะที่แถวที่ ¬p เป็น “จริง” นั่นคือ p q ¬p p → q ¬p → (p → q) F T T T T F F T T T เพื่อความรวดเร็วขึ้นโดยมองหาแถวที่ p → q หรือผลสรุปที่มีค่าความจริงเป็น “เท็จ ” p q ¬p p → q ¬p → (p → q) T F F F T 

ตัวอย่างที่ 1.4 จงตรวจสอบกฎการแจงเหตุสู่ผลเชิงตรรกศาสตร์ข้อ 26a [ ] ( )( ) p → q ∧ r → s ⇒ [(p ∨ r) → (q ∨ s)] ถ้าต้องดูทั้งหมดจะตองใช ้ จำนวนแถวถึงแถว เพื่อความรวดเร็วจะพิจารณาเพียงแถวที่ทำใหํ 26้ a มีค่าความจริงเป็น “เท็จ ” นั่นคือกรณีที่ [ ] ( )( ) p ∨ r → q ∨ s เป็น “เท็จ ” แต่ [(p → q)∧ (r → s)] เป็น “จริง” ?? เมื่อใดที่ [ ] ( )( ) p ∨ r → q ∨ s เป็น “เท็จ ”  เมื่อ q ∨ s เป็น “เท็จ ” นั่นคือทั้ง q และ s มีค่าความจริงเป็นเท็จ p q r s [ ] ( ) p → q ∧ (r → s) → [(p ∨ r)( ) → q ∨ s ]